共通 電験

[皮相電力の式はVとIどちらが共役?]皮相電力の位相(無効電力の正負)と進み遅れの関係

2020年8月9日

どうもいちにょきです!

さてさて突然ですが、

「皮相・有効・無効電力ってなんだかよくわからない」

「進み・遅れと無効電力の正負の関係がよくわからない」

「皮相電力の式って\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}}= P+jQ\)と\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I}= P+jQ\)をみたことがあるけどどっちが正しいの?」

って思ったことはありませんか?

管理人も最初の頃はここら辺の考え方になれるのに時間がかかりました。

そこで今回は、基本的な進み・遅れの概念、皮相電力の位相(無効電力の正負)と進み遅れの関係についてお話していこうと思います!

進み・遅れとは

そもそも進み・遅れとは二つの波形(例:電圧と電流)の位相関係を定義する用語です。

例えばある電流と電圧の位相関係をベクトルで表現すれば、

こうなります。

図のように位相を表現する場合、横軸から反時計回りの方向を正とし、正方向に位相が大きくなること(反時計回りに進むこと)を位相が進んでいると言います。

また、基本的に電圧を基準とした電流の位相を見ます。したがって図の場合だと(電圧に対して)位相\(\theta_1 - \theta_2\)だけ電流が遅れていることになります。

皮相・有効・無効電力について

有効電力・無効電力

まず有効電力\(P\)・無効電力\(Q\)の複素数表現における定義式を確認しておきましょう。

さきほどの図のような大きさV、位相\(\theta_1\)の電圧と大きさI、位相\(\theta_2\)の電流を考えます。

電圧\(\dot{V}\)、電流\(\dot{I}\)はそれぞれ

\[ \dot{V} = V(\cos \theta_1 + j \sin \theta_1) \]

\[ \dot{I} = I(\cos \theta_2 + j \sin \theta_2) \]

また、有効電力\(P\)、無効電力\(Q\)は電圧と電流の位相差\(\theta_1 - \theta_2 \)を使って

\[P = VI\{ \cos (\theta_1 - \theta_2)\} \]

\[Q = VI\{ \sin(\theta_1 - \theta_2)\} \]

と表されます。

進み無効電力と遅れ無効電力

さきほど進みと遅れは二つの波形の位相関係を定義する用語だと説明しました。

ところで、無効電力にも進みと遅れの概念がありますが、無効電力における進みと遅れは何と何の関係を表しているのでしょうか。

実は、「進み(遅れ)無効電力」=「電流が電圧に対して進んで(遅れて)いる状態で発生する無効電力」のことを指しています。

先ほどの例では電流が電圧に対して遅れているため、遅れ無効電力であることがわかりますね。

つまり無効電力での進み遅れというのは、無効電力と何かの波形の位相関係を定義しているわけではないんですね。

皮相電力の式\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}}\)について

次に皮相電力の定義式\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}}= P + jQ\)について考えます。ちなみに\(\overline{\dot{I}}\)は\(\dot{I}\)の共役複素数です。

上式より

\begin{eqnarray} \dot{S} &=& \dot{V} \overline{\dot{I}} \\ &=& V(\cos \theta_1 + j \sin \theta_1)I(\cos \theta_2 - j \sin \theta_2) \\ &=& VI \{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) \\ & & + j ( \sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)\} \\ &=& VI \{ \cos (\theta_1 - \theta_2) + j \sin(\theta_1 - \theta_2)\} \tag{1} \end{eqnarray}

となります。

よって、

\[P = VI ( \cos (\theta_1 - \theta_2) ) \]

\[Q = VI ( \sin(\theta_1 - \theta_2) ) \]

となります。

先ほどの例では図(再掲)より\(0 \leq \theta_1 - \theta_2 \leq \pi/2 \)なので、

\[\cos (\theta_1 - \theta_2) \geq 0\]

\[\sin (\theta_1 - \theta_2) \geq 0\]

よって\(P \geq 0 \)、\(Q \geq 0 \)、つまり無効電力は正となります。

またこの例では電流が電圧に対して遅れている、遅れ無効電力を考えていました。

すなわち電流が電圧に対して遅れている(=遅れ無効電力が発生している)条件で、\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} \)を使うと、遅れ無効電力は正として計算されるということです。

言い換えれば、\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} \)は、送れ無効電力が正という前提のもとでの式であるということです。

皮相電力の定義式\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I}\)は??

文献によっては皮相電力の式として\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I} \)を採用しているものがあります。

「じゃあ\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} = P+jQ \)はなんなんだよ!」って思いますよね笑

実はこれどっちも正しいのですが、前提条件の違いから二つの式が出てきてしまっています。

結論をまず言ってしまうと\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I} = P+jQ\)の式は進み無効電力を正と考えた場合の式になります。

先ほどの図と同じ場合を考えてみます。

今回は皮相電力の式として\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I}\)を用いて計算してみます。

\begin{eqnarray}\dot{S} &=& \overline{\dot{V} }\dot{I} \\ &=& V(\cos \theta_1 - j \sin \theta_1)I(\cos \theta_2 + j \sin \theta_2) \\ &=& VI \{ ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) \\ & & + j ( \cos \theta_1 \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cos \theta_2)\} \\ &=& VI \{ \cos (\theta_1 - \theta_2) + j \sin(\theta_2 - \theta_1)\} \\ &=& VI [ \cos (\theta_1 - \theta_2) + j \sin\{ - (\theta_1 - \theta_2)\}] \\ &=& P+jQ \tag{2} \end{eqnarray}

\[P = VI ( \cos (\theta_1 - \theta_2) ) \]

\[Q = VI [ \sin\{ - (\theta_1 - \theta_2)\} ] \]

さきほどと同様に\(0 \leq \theta_1 - \theta_2 \leq \pi/2 \)なので、

\[\cos (\theta_1 - \theta_2) \geq 0\]

\[\sin\{ - (\theta_1 - \theta_2)\} \leq 0\]

よって\(P \geq 0 \)、\(Q \leq 0 \)となります。

先ほどから一貫して無効電力は遅れでしたね。よって今回は遅れ無効電力が負で表されています。

すなわち電流が電圧に対して遅れている(=遅れ無効電力が発生している)条件で、\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I} \)を使うと、送れ無効電力は負として計算されるということです。

言い換えれば\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I}= P+jQ\)は進み無効電力が正という前提の式になっているわけですね。

結局どっちを使えばよいか

問題文中に「遅れ無効電力を正とする」などの記載がある場合は迷わず\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} = P+jQ \)を使いましょう。

特に記載がない場合も基本的に電力業界や電験の問題では遅れ無効電力を正として扱うことがほとんどですので、\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} = P+jQ \)を使えば問題ないでしょう。

大事なのは遅れを正としているのか進みを正としているのかをちゃんと意識しておくことです。

この意識があれば、出てきた計算結果が間違っていた場合も気づくことができます。例えば答えが進み無効電力として出てくるはずの問題で、遅れを正として計算して、計算結果が正であれば間違いに気づくことができます。

また念のため付け加えておくと、電圧と電流の位相は常に進みを正としているので、混乱しないようにしてくださいね。

皮相電力の位相(無効電力の正負)と進み遅れの関係(まとめ)

今回は基本的な位相の概念、皮相電力の位相(無効電力の正負)と進み遅れの関係について解説しました。ポイントをまとめます。

  • 基本的に位相は電圧を基準として電流が遅れか進みかを考える。
  • 皮相電力\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} \)は、遅れ無効電力が正という前提の式である。
  • 皮相電力\(\dot{S} = \overline{\dot{V} }\dot{I}= P+jQ\)は進み無効電力が正という前提の式である。
  • 基本的に皮相電力は\(\dot{S} = \dot{V} \overline{\dot{I}} \)を使う。
  • 進み、遅れ無効電力のどちらを正と考えて問題を解いているかを意識しておく。
  • 電流、電圧は常に進みを正としていることに注意する。

今回は混乱しやすいところを解説しましたので、ぜひ参考にしてみてくださいね!

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